У этого театра много неофициальных названий — «Подвал», «Подвальный театр», «Табакерка».
Именно они продолжили обучение под руководством Олега Табакова в ГИТИСе. А в 1977 году начальник Бауманского ремонтно-строительного участка передал в управление Табакова бывший угольный склад в подвале дома №1а на улице Чаплыгина. Это здание построили еще в 1912 году по проекту Густава Гельриха как доходный дом братьев Грибовых.
Олег Табаков и его студенты отремонтировали подвальные помещения и устроили там зрительный и репетиционный зал, фойе и несколько административных кабинетов. Уже в 1978 году студия сыграла первый спектакль, а вскоре начала собирать полные залы.
Но в 1980 первый секретарь МГК КПСС Виктор Гришин запретил студии давать спектакли, а Табакову — преподавать в течение года из-за идеологически неправильного прочтения образа Павла Корчагина в одной из постановок. Выпускники Табакова разошлись по разным театрам, но продолжали репетировать в «Табакерке» по ночам и давать спектакли.
В 1982 году Табаков набрал новый актерский курс, а 1 марта 1987 года театр официально открылся спектаклем «Кресло» по повести Юрия Полякова «ЧП районного масштаба».
Со временем студии стало тесно в подвале на Чаплыгина. Много лет труппа искала помещение для новой сцены, но лишь в 2007 году начали строить здание на Сухаревской площади. В 2008 году из-за экономического кризиса стройку заморозили и возобновили лишь в 2012. В 2016 году здание завершили. Теперь у «Табакерки» две сцены.
А после смерти Олега Табакова театр переименовали из Московского театра-студии под руководством Олега Табакова в «Театр Олега Табакова».
...в этот дом на встречу с Максимом Горьким приезжал Владимир Ленин, а пианист Исай Добровейн играл им «Аппассионату» Бетховена.